Графические задачки. «Иллюстративные и графические задачи в школьном курсе физики»

Решение графических задач по физике

В графических задачах объектом исследования являются графики зависимости физических величин. Графики могут быть даны в условии задачи или их надо построить в процессе решения задачи. Чтобы успешно решать графические задачи, их нужно уметь «читать», видеть характер зависимости между величинами. Рассмотрим решение некоторых графических задач.

Задача №1 (Задание из варианта ЕГЭ)

На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени.

Проекция ускорения тела в интервале времени от 12 до 16 с представлена графиком

Чтобы успешно и быстро решить подобное задание, нужно знать формулу ускоренияа = . Выделите указанный участок на графике. За 4 с скорость изменилась от значения -10 м/с до значения 0 м/с. Значит, а = (0м/с – (-10 м/с))/4 с = 2,5 м/с 2 .

а 0, значит верный ответ №4.

Задача №2 (Задание из варианта ЕГЭ)

На графике показана зависимость скорости тела от времени. Каков путь, пройденный телом к моменту времени t = 4 c?

1) 7 м; 2) 6 м; 3) 5 м; 4) 4 м.

Не нужно «искать» путь за 4 с движения по формулам кинематики. Это отнимает много времени. Найдём путь как площадь полученной трапеции. Верхнее основание трапеции это отрезок времени 4 с, нижнее – 2 с. Высота трапеции 2 м/с. Далее находим площадь:S = = 6 м.

Аналогично решаются некоторые задачи по термодинамике.

Задача №3

Рабочий цикл тепловой машины изображен на рисунке.

Дано: ν=1 моль, P 2 =6P 1 , T 4 =2T 1 , T 1 =300К

А? (за весь цикл)

Сначала найдем работу, совершенную в каждом процессе.

A 1-2 =0, A 3-4 =0,

A 2-3 =P 2 (V 2 –V 1),

A 4-1 =P 1 (V 1 –V 2). Работа за весь цикл равна:

A =A 2-3 +A 4-1 = P 2 (V 2 –V 1)+ P 1 (V 1 –V 2)=

P 2 (V 2 –V 1)- P 1 (V 2 –V 1)= (V 2 –V 1)(P 2 - P 1)=

= (V 2 –V 1)5 P 1 .

Запишем уравнение

Менделеева-Клапейрона.

состояние (параметры в точке 1:P 1 ,V 1 ,T 1):

P 1 V 1 =νRT 1 ;

2 состояние (точка 4): P 1 V 2 =νRT 4 ;Решая систему уравнений, получим:

(V 2 –V 1)P 1 = νRT 4 - νRT 1 .

(V 2 –V 1)P 1 = νR(T 4 -T 1)= νRT 1 .

(V 2 –V 1)= νRT 1 /P 1 .

A= (V 2 –V 1)5P 1 =(νRT 1 /P 1) ∙5P 1 =5∙νRT 1 .

Найдём работу как площадь фигуры (прямоугольника): А = (P 2 – P 1)·(V 2 – V 1) = 5 P 1 · νRT 1 /P 1 , т.к. P 1 V 1 =νRT 1 ;P 1 V 2 =νRT 4 , откуда (V 2 –V 1)= νRT 1 /P 1 .

Задача №4

Сравните графики движения тел и определите, какое из них имеет наибольшую скорость.

Можно вычислить скорости движения всех тел и затем их сравнить. Но есть более быстрый способ выполнения этого задания. Чем больше угол наклона графика к оси времени, тем больше скорость тела. Это согласуется с формулой скорости: v = , т.к. отношение изменения координаты (х –х 0) к отрезку времени t показывает тангенс угла наклона графика движения к оси времени. Ответ очевиден: наибольшая скорость соответствует графику 2.

Часто графическое представление физического процесса делает его более наглядным и тем самым облегчает понимание рассматриваемого явления. Позволяя порой значительно упростить расчеты, графики широко используются на практике для решения различных задач. Умение строить и читать их сегодня является обязательным для многих специалистов.

К графическим задачам мы относим задачи:

• на построение, где очень помогают, рисунки, чертежи;
• схемы, решаемые с помощью векторов, графиков, диаграмм, эпюр и номограмм.

1) Мячик бросают с земли вертикально вверх с начальной скоростью v о. Постройте график зависимости скорости мячика от времени, считая удары о землю абсолютно упругими. Сопротивлением воздуха пренебречь. [решение ]

2) Пассажир, опоздавший к поезду, заметил, что предпоследний вагон прошел мимо него за t 1 = 10 c , а последний — за t 2 = 8 с . Считая движение поезда равноускоренным, определите время опоздания. [решение ]

3) В комнате высотой H к потолку одним концом прикреплена легкая пружина жесткостью k , имеющая в недеформированном состоянии длину l о (l о < H ). На полу под пружиной размещают брусок высотой x с площадью основания S , изготовленный из материала плотностью ρ . Построить график зависимости давления бруска на пол от высоты бруска. [решение ]

4) Букашка ползет вдоль оси Ox . Определите среднюю скорость ее движения на участке между точками с координатами x 1 = 1,0 м и x 2 = 5,0 м , если известно, что произведение скорости букашки на ее координату все время остается постоянной величиной, равной c = 500 см 2 /с . [решение ]

5) К бруску массой 10 кг , находящемуся на горизонтальной поверхности, приложена сила. Учитывая, что коэффициент трения равен 0,7 , определите:

• cилу трения для случая, если F = 50 Н и направлена горизонтально.
• cилу трения для случая, если F = 80 Н и направлена горизонтально.
• построить график зависимости ускорения бруска от горизонтально приложенной силы.
• с какой минимальной силой нужно тянуть за веревку, чтобы равномерно перемещать брусок? [решение ]

6) Имеются две трубы, подсоединенных к смесителю. На каждой из труб имеется кран, которым можно регулировать поток воды по трубе, изменяя его от нуля до максимального значения J o = 1 л/с . В трубах течет вода с температурами t 1 = 10° C и t 2 = 50° C . Постройте график зависимости максимального потока воды, вытекающей из смесителя, от температуры этой воды. Тепловыми потерями пренебречь. [решение ]

7) Поздним вечером молодой человек ростом h идет по краю горизонтального прямого тротуара с постоянной скоростью v . На расстоянии l от края тротуара стоит фонарный столб. Горящий фонарь закреплен на высоте H от поверхности земли. Постройте график зависимости скорости движения тени головы человека от координаты x . [решение ]

Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
(1.1) ;
(1.2)
Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .

Построение области допустимых решений

Графический метод решения задачи (1) следующий.
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.

Так, первое неравенство
(1.2.1)
определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).

Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.

Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.

Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые
(2)
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.

Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).

Нахождение экстремума целевой функции

Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.

Теперь мы можем искать экстремум целевой функции
(1.1) .

Для этого выбираем любое число и строим прямую
(3) .
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .

Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.

Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.

Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле:
.
Решением задачи является
.

Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин:
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Условие задачи

Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида - 10 м, третьего вида - 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В - 300 ден. ед.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.

Решение

Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
и .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)

Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).

Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.

(П1.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).

Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.

Пример 2

Условие задачи

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).

Строим прямую .
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).

Строим прямую .
Строим прямую (ось абсцисс).

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

Пример отсутствия решения

Условие задачи

Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.

Решение

Решаем задачу графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П3.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .

Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.

Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Минимальное значение целевой функции:

Ответ

Максимального значения не существует.
Минимальное значение
.

К задачам этого типа относятся такие, в которых все или часть данных заданы в виде графических зависимостей меж­ду ними. В решении таких задач можно выделить следующие этапы:

2 этап - выяснить из приведенного графика, между какими величинами представлена связь; выяснить, какая физическая величина является независимой, т. е. аргументом; какая величина является зависимой, т. е. функцией; определить по виду графика, какая это зависимость; выяснить, что требуется - определить функцию или аргумент; по возможности, записать уравнение, которое описывает приведенный график;

3 этап - отметить на оси абсцисс (или ординат) заданное значение и восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком. Опустить перпендикуляр из точки пересечения на ось ординат (или абсцисс) и определить значение искомой величины;

4 этап - оценить полученный результат;

5 этап - записать ответ.

Прочитать график координаты – это значит, что из графика следует определить: начальную координату и скорость движения; записать уравнение координаты; определить время и место встречи тел; определить, в какой момент времени тело имеет данную координату; определить координату, которую тело имеет в указанный момент времени.

Задачи четвертого типа - экспериментальные . Это задачи, в которых для нахождения неизвестной величины требуется часть данных измерить опытным путем. Предлагается следующий порядок работы:

2 этап - определить, какое явление, закон лежат в основе опыта;

3 этап - продумать схему опыта; определить перечень приборов и вспомогательных предметов или оборудования для проведения эксперимента; продумать последовательность проведения эксперимента; в случае необходимости разработать таблицу для регистрации результатов эксперимента;

4 этап - выполнить эксперимент и результаты записать в таблицу;

5 этап - сделать необходимые расчеты, если это требуется согласно условию задачи;

6 этап - обдумать полученные результаты и записать ответ.

Частные алгоритмы для решения задач по кинематике и динамике имеют следующий вид.

Алгоритм решения задач по кинематике:

2 этап - выписать численные значения заданных величин; выразить все величины в единицах «СИ»;

3 этап - сделать схематический чертеж (траекторию движения, векторы скорости, ускорения, перемещения и т.д.);

4 этап - выбрать систему координат (при этом следует выбрать такую систему, чтобы уравнения были несложными);

5 этап - составить для данного движения основные уравнения, которые отражают математическую связь между изображенными на схеме физическими величинами; число уравнений должно быть равно числу неизвестных величин;

6 этап - решить составленную систему уравнений в общем виде, в буквенных обозначениях, т.е. получить расчетную формулу;

7 этап - выбрать систему единиц измерения («СИ»), подставить в расчетную формулу вместо букв наименования единиц, произвести действия с наименованиями и проверить, получается ли о результате единица измерения искомой величины;

8 этап - выразить все заданные величины в избранной системе единиц; подставить в расчетные формулы и вычислить значения искомых величин;

9 этап - проанализировать решение и сформулировать ответ.

Сравнение последовательности решения задач по динамике и кинематике дает возможность увидеть, что некоторые пункты являются общими для обоих алгоритмов, это помогает лучше их запомнить и более успешно применять при решении задач.

Алгоритм решения задач по динамике:

2 этап - записать условие задачи, выразив все величины в единицах «СИ»;

3 этап - сделать чертеж с указанием все сил, действующих на тело, векторы ускорений и системы координат;

4 этап - записать уравнение второго закона Ньютона в векторном виде;

5 этап - записать основное уравнение динамики (уравнение второго закона Ньютона) в проекциях на оси координат с учетом направления осей координат и векторов;

6 этап - найти все величины, входящие в эти уравнения; подставить в уравнения;

7 этап - решить задачу в общем виде, т.е. решить уравнение или систему уравнений относительно неизвестной величины;

8 этап - проверить размерность;

9 этап - получить численный результат и соотнести его с реальными значениями величин.

Алгоритм решения задач на тепловые явления:

1 этап - внимательно прочитать условие задачи, выяснить, сколько тел участвует в теплообмене и какие физические процессы происходят (например, нагревание или охлаждение, плавление или кристаллизация, парообразование или конденсация);

2 этап - кратко записать условие задачи, дополняя необходимыми табличными величинами; все величины выразить в системе «СИ»;

3 этап - записать уравнение теплового баланса с учетом знака количества теплоты (если тело получает энергию, то ставят знак «+», если тело отдает - знак «-»);

4 этап - записать необходимые формулы для расчета количества теплоты;

5 этап - записать полученное уравнение в общем виде относительно искомых величин;

6 этап - произвести проверку размерности полученной величины;

7 этап - вычислить значения искомых величин.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

Работа № 1

ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ

Основные положения:

Механическое движение – изменение положения тела относительно других тел или изменение положения частей тела со временем.

Материальная точка – тело, размерами которого можно пренебречь в данной задаче.

Физические величины бывают векторные и скалярные.

Вектором называется величина, характеризующаяся числовым значением и направлением (сила, скорость, ускорение и т.д.).

Скаляром называется величина, характеризующаяся только числовым значением.(масса, объем, время и т.д.).

Траектория - линия, вдоль которой движется тело.

Пройденный путь - длина траектории движущегося тела, обозначение - l , единица измерения в системе СИ: 1 м, скаляр (имеет модуль, но не имеет направления), однозначно не определяет конечное положение тела.

Перемещение - вектор, соединяющий начальное и последующее положения тела, обозначение - S, единица измерения в СИ: 1 м, вектор (имеет модуль и направление), однозначно определяет конечное положение тела.

Скорость – векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела к промежутку времени, за которое это перемещение произошло.

Механическое движение бывает поступательным, вращательным и колебательным.

Поступательным движением называют движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Примерами поступательного движения являются движение поршня в цилиндре двигателя, движение кабин «чертова колеса» и т.д. При поступательном движении все точки твердого тела описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения.

Вращательным движением абсолютно твердого тела называют такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения , и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси (роторы турбин, генераторов и двигателей).

Колебательное движение – это движение, периодически повторяющееся в пространстве с течением времени.

Системой отсчета называется совокупность тела отсчета, системы координат и способа измерения времени.

Тело отсчета – любое тело, выбираемое произвольно и условно считаемое неподвижным, относительно которого изучается расположение и движение других тел.

Система координат состоит из выделенных в пространстве направлений – осей координат, пересекающихся в одной точке, называемой началом отсчета и выбранного единичного отрезка (масштаба). Система координат нужна для количественного описания движения.

В декартовой системе координат положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе определяется тремя координатами х, у и z, или радиусом-вектором .

Траекторией движения материальной точки называется линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным и криволинейным .

Движение называется равномерным, если скорость материальной точки с течением времени не изменяется.

Действия с векторами:

Скорость – векторная величина, показывающая направление и быстроту перемещения тела в пространстве.

Всякому механическому движению присущ абсолютный и относительный характер .

Абсолютный смысл механического движения состоит в том, что если два тела сближаются или удаляются друг от друга, то они будут сближаться или удаляться в любой системе отсчета.

Относительность механического движения заключается в том, что:

1) бессмысленно говорить о движении, не указав тело отсчета;

2) в разных системах отсчета одно и то же движение может выглядеть по-разному.

Закон сложения скоростей : Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости этого же тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы относительно неподвижной.

Контрольные вопросы

1. Определение механического движения (примеры).

2. Виды механического движения (примеры).

3. Понятие материальной точки (примеры).

4. Условия, при выполнении которых тело можно считать материальной точкой.

5. Поступательное движение (примеры).

6. Что включает в себя система отсчета?

7. Что такое равномерное движение (примеры)?

8. Что называется скоростью?

9. Закон сложения скоростей.

Выполните задания:

1. Улитка проползла прямолинейно 1 м, затем сделала поворот, описав четверть окружности радиусом 1 м, и проползла далее перпендикулярно первоначальному направлению движения еще 1 м. Сделать чертеж, рассчитать пройденный путь и модуль перемещения, на чертеже не забыть показать вектор перемещения улитки.

2. Движущийся автомобиль сделал разворот, описав половину окружности. Сделать чертеж, на котором указать путь и перемещение автомобиля за треть времени разворота. Во сколько раз путь, пройденный за указанный промежуток времени, больше модуля вектора соответствующего перемещения?

3. Может ли спортсмен на водных лыжах двигаться быстрее катера? Может ли катер двигаться быстрее лыжника?

1 Филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения»

Подготовка специалистов технического профиля включает обязательный этап графической подготовки. Графическая подготовка специалистов технического профиля происходит в процессе выполнения графических работ различных видов, в том числе при решении задач. Графические задачи могут подразделяться на различные виды, по содержанию условия задачи и по действиям, которые совершаются обучаемыми в процессе решения задачи. Разработки типологии задач, принципов их классификации, подразделение задач на различные виды для эффективного использования их в процессе обучения, разработка характеристики задачи на основе классификации графических задач. Для развития мотивации графической подготовки обучаемых необходимо задействовать в учебном процессе творческие задачи, предполагающие включение в процесс обучения элементы творческого поиска. Систематизация разработанного нами творческого интерактивного задания по разработке витагенно-ориентированных графических задач, классификация видов задания и продукта его выполнения на группы в соответствии с определенными признаками: по содержания задания, по действиям над графическими объектами, по охвату учебного материала, по способу решения и оформлению результатов решения, по роли задачи в формировании графических знаний. Всеобъемлющая систематизация графических задач различного уровня усвоения материала позволяет всесторонне развивать графические способности обучаемых, тем самым повышая качество подготовки специалистов технического профиля.

уровни усвоения графических знаний

сюжет витагенно-ориентированной задачи

выполняемые при решении графических задач

действия и операции

классификация графических задач

задачная и решающая системы графической задачи

творческие интерактивные задания по разработке витагенно-ориентированных задач

графическая задача классического содержания

1. Бухарова Г.Д. Теоретические основы обучения студентов умению решать физические задачи: учеб. пособие. – Екатеринбург: УРГППУ, 1995. – 137 с.

2. Новоселов С.А., Туркина Л.В. Творческие задачи по начертательной геометрии как средство формирования обобщенной ориентировочной основы обучения инженерной графической деятельности // Образование и наука. Известия Уральского отделения Российской академии образования. – 2011. – № 2 (81). – С. 31-42

3. Рябинов Д.И., Засов В.Д. Задачи по начертательной геометрии. – М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1955. – 96 с.

4. Тулькибаева Н.Н., Фридман Л.М., Драпкин М.А., Валович Е.С., Бухарова Г.Д. Решение задач по физике. Психолого-методический аспект/Под ред Тулькибаевой Н.Н., Драпкина М.А. Челябинск: Из-во ЧГПИ «Факел», 1995.-120с.

5. Туркина Л.В. Сборник задач по начертательной геометрии витагенно-ориентированного содержания /– Нижний Тагил; Екатеринбург: УрГУПС, 2007. – 58 с

6. Туркина Л.В. Творческая графическая задача – структура содержания и решения // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 2; URL: http://www..03.2014).

Одной из главных составляющих подготовки специалистов технического профиля является практическая учебная деятельность, включающая деятельность по решению учебных задач. Решение задач различных видов дает возможность сформировать умения и навыки, разрешать проблемы учебного характера, выработать готовность для развития творческого поиска в процессе профессиональной деятельности будущих специалистов.

Разнообразие видов задач, которые предлагаются для решения студентам, расширяет кругозор обучаемых, учит практическому применению знаний и мотивирует их самостоятельную учебную деятельность. Для того чтобы был применен весь спектр учебных задач по той или иной дисциплине, необходимо иметь представление обо всём их многообразии, классифицировать их по тем или иным признакам и целенаправленно использовать их для формирования востребованных в профессиональной деятельности качеств личности будущих специалистов.

Одной из основных составляющих подготовки специалистов технического профиля является графическая подготовка, включающая практическую составляющую в виде решения графических задач. Решение графических задач - это фундамент для формирования навыков построения чертежа, знаний теории проецирования, правил оформления графических изображений. Цель графической задачи - это создание графического изображения заданного объекта, построенного в соответствие с правилами Единой системы конструкторской документации, или преобразование, или дополнение заданного графического изображения объекта.. Структура графической задачи по сути сходна со структурой задачи по физике, которая определена Г.Д. Бухаровой как сложная дидактическая система, где в единстве, взаимосвязи, взаимозависимости и взаимодействии представлены компоненты (задачная и решающая системы), каждый из которых, в свою очередь, состоит из находящихся в такой же динамической зависимости элементов.

В задачностную систему, как известно , входят предмет, условия и требования задачи, решающая система включает в себя набор взаимосвязанных методов, способов и средств решения задачи.

Задачностная система графической задачи определяется ее содержанием, которое можно классифицировать по использованным разделам графических дисциплин (например, начертательной геометрии). Для систематизации типов и видов графических задач необходимо разработать основы, принципы и выстроить систему их деления на группы. Для этого предлагаем разработанную нами концепцию типологии (классификации) графических задач. Разработанная нами классификация задач аналогична классификации задач по физике , но имеет свои особенности, характерные для обучения графическим дисциплинам, для которых характерно не только овладение специфической областью знаний, но и формирование навыка по их применению при разработке графической документации.

Условие задачи как входящий элемент задачностной системы определяет дальнейшие действия обучаемого и позволяет классифицировать графические задачи по видам графических действий над объектами.

По видам объектов, над которыми производятся графические действия, могут быть следующими:

• задачи с плоскими объектами (точка, прямая, плоскость);
• задачи с пространственными объектами (поверхности, геометрические тела);
• задачи со смешанными объектами (точка, прямая, плоскость поверхность геометрическое тело).

По охвату учебного материала начертательной геометрии задачи можно классифицировать на гомогенные (один раздел) и смешанные (несколько разделов) полигенные.

• задачи с текстовым условием;
• задачи с графическим условием;
• задачи со смешанным содержанием.

По достаточности информации задачи классифицируются на:

• задачи определенные;
• задачи поисковые.

Процесс решения задачи определяет решающую систему и позволяет классифицировать графические задачи по следующим параметрам и признакам процесса выполнения действий над объектами задачи:

По видам графических операций над объектами задачи могут быть следующими:

• задачи по определению положения объекта в пространстве относительно плоскостей проекций и изменение его положения;
• задачи по определению взаимного положения объектов;
• метрические задачи (определение натуральной величины объектов: размеров линейных величин, формы)

По действиям, направленным на предмет, задачи могут быть:

• задачами исполнения;
• задачами преобразования;
• задачами конструирования;
• задачами доказательства;
• задачами сопоставления;
• задачами исследования.

По способу решения графические задачи могут быть:

• задачи, решающиеся графическим способом;
• задачи, решающиеся аналитическим (вычислительным) способом;
• задачи, решающиеся логическим способом с графическим оформлением решения.

По применению средств решения графические задачи делятся на:

• задачи, решаемые ручными средствами;
• задачи, решаемые с применением информационных технологий.

По числу решений задачи могут быть:

• задачи, имеющие одно решение;
• задачи, имеющие несколько решений;
• задачи, не имеющие решений.

По роли задач в формировании графических знаний их можно классифицировать на задачи формирующие:

• графические понятия (понятий) и термины;
• умения и навыки применения метода проецирования;
• умения и навыки применения методов преобразования чертежа;
• умения и навыки применения способов определения расположения объекта;
• умения и навыки применения способов определения общих частей двух и более объектов (линии пересечения);
• умения и навыки применения способов определения размеров объекта;
• умения и навыки применения способов определения формы объекта;
• умения и навыки применения способов определения развертки объекта.

Например:

Задача № 1. Построить на эпюре точку B, которая принадлежит горизонтальной плоскости проекций, удалена от фронтальной плоскости проекций на 40 мм, а от профильной плоскости проекций на 20 мм дальше, чем от фронтальной.

Задача гомогенная, содержание ее относится к разделу «Точка и прямая» дисциплины «Начертательная геометрия». Задача требует совершения графических действия над плоским объектом, условие задачи изложено в текстовом виде, задача имеет достаточный объем информации и не относится к поисковым. Это классический пример задачи на определение положения объекта в пространстве относительно плоскостей проекций и изображения его на чертеже (эпюре). Задача - исполнение определенных, заданных условием задачи действий; данная задача может быть решена исключительно графическим способом. Она может быть решена как при помощи ручных средств, так и при помощи компьютерной программы САПР, задача имеет одно решение. Данная задача формирует графические понятия и термины (название и положение плоскости проекций, понятие «точка», координаты точки), умения и навыки применения метода проецирования - проецирование точки.

Решение задачи представлено на рисунке 1.

Задача № 2. Построить развертку поверхности В, содержащую проекции точки А и С, и пересекающуюся с поверхностью K - цилиндром фронтально-проецирующего направления, ось которого пересекает ось поверхности В.

Задача № 2 является полигенной, так как совмещает в себе следующие разделы: «Точка в системе проекций», «Пересечение поверхностей», «Развертывание кривых поверхностей». Это задача со смешанными объектами (точки, поверхности), условие задачи также имеет смешанное (комплексное) содержание, состоящее из текстовой и графической части. Условие задачи не определено полностью, так как цилиндр, пересекающий заданную поверхность В, не имеет диаметра и его положение не определено на чертеже. Это задача на определение взаимного положения объектов и определение развертки поверхности, то есть задача исполнения, решаемая графическим путем, как ручным способом, так и с применением информационных технологий. Задача имеет множество решений и формирует графические понятия - точка, поверхности вращения (конус, цилиндр), навыки применения способов определения общих частей объектов (способ секущих плоскостей) и навыки построения развертки поверхностей вращения.

Решение задачи №2 представлено на рисунке 3.

Процесс решения графической задачи, приведенный выше, иллюстрирует особенность обучения графическим дисциплинам, состоящую в том, что геометрические объекты в проекциях и графические построения трудны для освоения студентами младших курсов, вчерашними школьниками, имеющими минимальный уровень графической подготовки в связи с тем, что курс черчения переведен в вариативные курсы. Для мотивации графического познания, снижения абстрактности учебного материала некоторыми педагогами были предложены задачи с материализованными объектами и задания по разработке задач витагенно-ориентированного содержания .

Классификация творческих витагенно-ориентированных задач аналогична классификации графических задач классического содержания, но имеет ряд отличий определяющихся тем, что задачностная система творческой задачи - это задание на разработку самой задачи. Это информация, определяющая направление дальнейших учебных действий студента, содержание графического модуля, в рамках которой может быть разработана графическая задача, но не ограничивающая область применения знаний предмета и творческую фантазию обучаемого.

• задачи гомогенные (одна тема);
• задачи смешанные (несколько разделов).

По требованиям к содержанию задачи могут быть:

• задачи, конкретизирующие требования к содержанию задачи;
• задачи свободного выбора содержания задачи (задача на вышеуказанную тему).

По требованиям к выборам материальных объектов содержание задачи может быть:

• задачи с обязательным использованием объектов витагенного опыта;
• задачи с обязательным использованием объектов профессиональной деятельности;
• задачи с обязательным использованием межпредметных знаний;
• задачи без особых требований к объектам задачи.

По определенному в задании на разработку задачи способу поиска средств решения задачи могут классифицироваться на:

• задания свободного поиска;
• задания с применением методов активизации мышления;
• задания, решаемые по аналогии со стандартной задачей: заменой абстрактного объекта на материализованный объект.

Например, задание на разработку задачи может быть сформулировано следующим образом:

Разработать задачу по начертательной геометрии, применив знания темы «Проецирование точки, прямой» в реальной жизненной ситуации, предварительно изучив теоретические положения и рассмотрев задачи классического содержания. При составлении задачи использовать материальные аналоги геометрических объектов (точка, прямая).

Задание гомогенное, не выдвигающее требований к ни содержанию разрабатываемой задачи, ни к характеру используемых в задаче объектов, ни к способу поиска материальных аналогов геометрических объектов.

Пример выполнения задания :

Шахтер спустился в шахту на лифте на глубину 10 м, прошел по тоннелю, направленному вдоль оси X вправо 25 м, повернул на 90° налево и прошел по тоннелю, направленному вдоль оси Y еще 15 м. Построить эпюр точки, которая определяет местонахождение шахтера. Точку пересечения поверхности земли с шахтой лифта принять за начало осей координат. Ось лифта принять за ось Z.

На рисунке 4 представлена горизонтальная проекция точки А -А1 и фронтальная проекция точки А-А2, характеризующая местоположение объекта, который находится ниже уровня земли, принятой нами за горизонтальную плоскость проекции.

Содержание разработанной задачи определяет действия по решению задачи и позволяет классифицировать творческие витагенно-ориентированные задачи так же как и задачи классического содержания по видам геометрических операций над объектами, по охвату учебного материала графической дисциплины, по виду и содержанию условия задачи, по действиям, направленным на предмет составленной задачи, по достаточности информации, которую содержит разработанное условие задачи, по способу поиска средств решения.

Основное отличие витагенно-ориентированной творческой задачи от классических графических задач по начертательной геометрии состоит в наличии сюжетной линии, в основе которой техническая проблема, решаемая средствами начертательной геометрии. Витагенно-ориентированная задача, прежде всего, - это повествование о какой- либо сфере человеческой деятельности, в которой применяются методы и способы графических дисциплин. Творческий поиск студентов при разработке витагенно-ориентированнных задач не ограничивается: технические проблемы быта, разработка сюжета с использованием знаний других дисциплин, использование профессиональных знаний.

По сюжетной линии условия задачи их можно рассмотреть как:

• задачи с использованием бытовой ситуации для сюжета задачи;
• задачи с использованием производственной технической ситуации для сюжета задачи;
• задачи с использованием исторического сюжета;
• задачи с использованием знаний из других областей для разработки сюжета задачи (география, биология, химия, физика);
• задачи с использованием литературных сюжетов;
• задачи с использованием фольклорных сюжетов.

Решение составленной задачи - это неотъемлемая часть выполнения заданий по разработке задачи; решаемость разработанной задачи - это критерий правильности решения задания. Процесс решения также позволяет классифицировать разработанные задачи по некоторым признакам. Например, по применению средств решения задачи могут быть:

• решаемые графическими ручными средствами;
• решаемые с применением информационных технологий;
• решаемые аналитически (вычислениями);
• решаемые комбинированными средствами.

Составленные в результате решения витагенно-ориентированные задачи можно классифицировать так же как и классические графические задачи по числу решений и по роли задач в формировании графических знаний (способ классификации приведен выше).

Например, студент разработал следующую задачу :

Гвоздь вбит в стену на глубину 100 мм на высоте 500 мм. Построить эпюр отрезка прямой линии, представленной в виде гвоздя, если его длина 200 мм.

Стена - плоскость V, пол - плоскость Н. Плоскость W принять произвольно. Указать видимость.

Рис.5. Решение задачи

Приведенная задача относится к задачам с плоскими объектами, гомогенная по определению положения объекта относительно плоскостей проекций, задача исполнения, задача имеет неполный объем информации для изображения объекта, так как не указано расположение гвоздя относительно профильной плоскости проекции (координата x) и, следовательно, имеет множество решений. Решение этой задачи может быть только графическим и выполнено как ручным способом, так и с применением информационных технологий. Задача формирует понятие проецирующей прямой и положение геометрических объектов в 1 и 2 четверти. Информация, изложенная в задаче, - это часть жизненного опыта студента, которая демонстрирует на практике фронтально-проецирующую прямую и помогает усвоить темы проецирования плоских объектов. Полная характеристика задачи с точки зрения классификации графических задач позволяет эффективно использовать ее в учебном процессе.

Проанализировав различные виды графических задач и определив основы их систематизации и классификации, можно заключить следующее:

Обучение графическим дисциплинам требует обязательного введения практической составляющей учебного процесса, формирующей навыки графической деятельности. Практическая графическая деятельность в процессе обучения состоит в решении графических задач, охватывающих различные разделы графических дисциплин, задач различного уровня сложности, предназначенных для усвоения различных графических понятий, действий и операций, формирующих знания различного уровня. Для достижения этого необходимо использовать весь спектр графических задач: от простых, формирующих репродуктивный уровень знания, до творческих задач с элементами научного поиска, предполагающих продуктивный уровень усвоения графических знаний. Систематизация задач по графическим дисциплинам дает возможность эффективно и правильно использовать различные виды заданий на разных этапах учебного процесса, координировать графическую деятельность обучаемых различного уровня подготовки и создавать условия для их мотивационно-творческой активности и устойчивого интереса к графическим дисциплинам, тем самым активизировать их самостоятельную графическую деятельность и повышать качество графической подготовки.

Рецензенты:

Новоселов С.А., д.п.н., профессор, директор Института педагогики и психологии детства, Уральский государственный педагогический университет, г. Екатеринбург;

Куприна Н.Г., д.п.н., профессор, заведующая кафедрой эстетического воспитания, Уральский государственный педагогический университет, г. Екатеринбург.

Библиографическая ссылка